243

user15

3 Years ago at Sep 13 Mon 2021 at 11:52 AM

الحركات الاهتزازية متعددة  درجات الحرية

الحركة الاهتزازية غير المتخامدة و الحرة

لنأخذ منشأ مؤلف من عدد من الطوابق )ثلاث طوابق مثلا ( ولندرس الحركة الاهتزازية الحرة ضمن الفرضيات التالية :

1- العناصر الأفقية لهذا المنشأ لا تخضع لأي دوران أي أنها ذات صلابة كبيرة مقارنة بصلابة الأعمدة

2- الكتلة الكلية للمنشأ مشكلة من الكتل المركزة عند كل طابق

3- الانتقال الأفقي للمنشأ مستقل عن القوى المحورية المتولدة في الأعمدة.

يمكن تمثيل المنشأ بمجموعة نوابض وفق الشكل

حيث
 الكتل الكلية عند كل طابق


 الصلابة الكلية لأعمدة كل طابق


الانتقالات الأفقية عند منسوب كل طابق

من خلال دراسة توازن كل كتلة نجد

بعد الاصلاح

و بشكل مصفوفي

أو

 
 مصفوفة الكتل وهي قطرية مربعة أبعادها n x n

 
  شعاع التسارع و أبعاده x n 1

 
 مصفوفة الصلابة وهي مربعة متناظرة أبعادها n x n

 
  شعاع التسارع و أبعاده x n 1

      (1)

معادلة مصفوفية تفاضلية متجانسة حلها من الشكل

و بالاشتقاق مرتين بالنسبة ل

ومنه و بالتعويض في المعادلة (1)

  لا يمكن أن تساوي الصفر (عبارة عن مصفوفة فيها تجميع أشعة بحيث كل عمود هو الانتقالات الموافقة للقيم الخاصة المحسوبة من حل المعادلة التفاضلية أي كل قيمة خاصة لها شعاع انتقالات خاص مخزن هنا)

و بالتالي

من أجل منشأ بدرجتي حرية

أي

أو

ومنه

حيث    تسمى القيم الخاصة و التي منها نجد أدوار الاهتزاز

 

ومنه يمكن كتابة المعادلة

بالشكل التالي

والمعادلة

 

من أجل


من أجل

نسمي

 و  المناحي (الأشعة)الخاصة الموافقة لنمط الاهتزاز الأول و نمط الإهتزاز الثاني.

يعني, في حال انتقلت الكتلة  بمقدار 1 فإن الكتلة  تنتقل بمقدار  في نمط الاهتزاز الأول.

في حال انتقلت الكتلة  بمقدار 1 فإن الكتلة  تنتقل بمقدار  في نمط الاهتزاز الثاني.

ومنه تكون معادلات الحركة الاهتزازية النهائية لمنشأ بدرجتين من الحرية

السرعة

المجاهيل:
و بأربع معادلات و بتطبيق الشروط الأولية و حل المعادلات حل مشترك نجد معادلات الحركة الاهتزازية.

خصائص المناحي الخاصة:

من أجل

بتقسيم على  

و بالتالي من أجل النمط

بأخذ منقول الطرفين للمعادلة

نضرب الطرفين ب

من أجل النمط

نضرب الطرفين ب

بطرح المعادلتين

من أجل  

فإن الناتج يسمى مربع طول الشعاع الخاص  

بتقسيم طرفي المعادلة على

نحصل

   الشعاع الواحدي المرافق للنمط

في حال  

تحويل المعادلات المرتبطة خطيا لمعادلات مستقلة:

يمكن التعبير عن الانتقالات بتابع مضروب بمصفوفة الأشعة الواحدية أي

بعد الاشتقاق مرتين نجد

بالتعويض في المعادلة

نضرب ب

من أجل منشأ بدرجتين حرية

حيث:

ومنه

حل المعادلات بشكل مستقل:

ومن المعادلة

ولدينا

نضرب ب  نجد

ومنه