طريقة تكامل ديوهامل Duhamel integral method

يمكن اشتقاق هذه الطريقة لإيجاد استجابة جملة وحيدة درجة الحرية انطلاقا من استجابة جملة مماثلة لنبضة قصيرة الأمد وبالاعتماد على مبدأ جمع الآثار.

يبين الشكل جملة وحيدة درجة الحرية تبدأ حركتها من وضع الراحة تحت تأثير حمل ديناميكي .

تحدد استجابة الجملة غير المخمدة   لدفع تفاضلي قدره

تحدد استجابة الجملة في اللحظة  بجمع الاستجابات التفاضلية  الناتجة عن الدفوع التفاضلية التي تسبق اللحظة  كما يلي:

أو

حيث يسمى   بتابع الاستجابة من أجل واحدة الدفع و يعطى بالعلاقة التالية:

تحدد استجابة الجملة المخمدة   لدفع تفاضلي قدره

أو

حيث يسمى   بتابع الاستجابة من أجل واحدة الدفع و يعطى بالعلاقة التالية:

العلاقتان هما تكامل ديوهامل و تستخدمان لتحديد استجابة الجملة عندما تبدأ من وضع الراحة.

ومنه يمكن يمكن توسيع الطريقة المذكورة أعلاه لتشمل إيجاد استجابة جملة لتأثير حمل ديناميكي عام لأن أي حمل ديناميكي يمكن تمثيله بمجموعة من الأحمال النبضية المتتالية كما هو مبين بالشكل

 

لنعتبر واحدا من هذه الأحمال النبضية الذي يبدأ عند الزمن  و يستمر فترة زمنية مقدارها  فيكون الدفع الذي تتعرض له الجملة نتيجة هذا الحمل النبضي  و سينتج استجابة تفاضلية قدرها:

نحصل على الاستجابة الكاملة للجملة بإضافة الاستجابات التفاضلية الناجمة عن الاحمال النبضية المتعاقبة و عليه تصبح الاستجابة الكاملة كما في المعادلة:

أما اذا كانت الجملة ذات تخميد فتكون معادلة الاستجابة كما يلي: