استجابة الجملة المرنة متعددة درجات الحرية للهزات الأرضية:

في أغلب الجمل الانشائية من المستحيل نمذجة الاستجابة الديناميكية للجملة بدقة بدلالة احداثي انتقالي واحد, لأن وصف استجابة الجملة في أي لحظة من الزمن يتطلب مجموعة من الاحداثيات الانتقالية المستقلة

Independent displacement coordinates

من أجل تبسيط الحل يمكن نمذجة كتل المنشأبتجميعها في مركز كتلة الطوابقالمختلفة مما يؤدي إلى مصفوفة كتل قطرية سواء كانت كتلا انتقالية أو دورانية على القطر الرئيسي للمصفوفة.

وعليه يمكن كتابة قوى العطالة التي تؤثر على المنشأ كما يلي:

و بغية تحديد مصفوفة صلابة المنشأ فإن أبسط نمذجة للمنشأ تعتمد الفرضيات التالية:

- الطابق يتصرف كلوح في مستويه.

- الجوائز صلبة مقارنة بالأعمدة.

- الأعمدة مرنة في المستوي الافقي و لكن صلبة في المستوي الشاقولي.

بناء على هذه الفرضيات الثلاثة يمكن نمذجة المنشأ باستخدام ثلاث درجات حرية ديناميكية لكل طابق منها انتقالان افقيان متعامدان و دوران حول محور شاقولي يمر بمركز الكتلة. و تخفض درجات الحرية إلى انتقال أفقي واحد في كل طابق في حال تم نمذجة الجملة بإطار مستو و عندها تكتب قوى الارجاع المرنة في المنشأ على النحو التالي:

حيث  الصلابة الانتقالية للطابق  

وعند غض النظر عن الفرضيات أعلاه  يتحول الحد  إلى مصفوفة جزئية و كذلك يتحول الانتقال  إلى شعاع يحوي مركبات الانتقال المختلفة في الطابق .

تكتب معادلة الاهتزاز الحر لجملة متعددة درجات الحرية بدون تخميد باستخدام العلاقة على الشكل المصفوفي التالي :

تحدد تواترات و انماط اهتزاز الجملة بحل مسألة القيم الذاتية eigenvalue التالية:

و لإيجاد الحل غير الصفري لمجموعة المعادلات المتجانسة هذه لابد من مساواة معين مصفوفة الأمثال بالصفر
أي:

بنشر هذا المعين ينتج كثير حدود من الدرجة N   و جذوره هي التواترات المقابلة ل N نمط اهتزاز للجملة و يدعى النمط ذو التواتر الأصغر بالنمط الأساسيFundamental Mode .

بتبديل التواترات الناتجة واحدة تلو الأخرى في مسألة القيم الذاتية ومن ثم حلها لإيجاد السعات النسبية لكل مركبة من مركبات الانتقال بدلالة واحدة منها نكون بذلك قد حددنا الأشعة الذاتية و التي تدعى بأنماط الاهتزاز.

بما أن للجملة N درجة حرية و N نمط اهتزاز مستقل فمن السهل أن نعبر عن الشكل المتشوه للمنشأ بدلالة سعات أنماط الاهتزاز و التي تسمى الاحداثيات المعممة أو الطبيعية و عليه يمكن الحصول على الانتقال  في نقطة ما بجمع مساهمات كل أنماط الاهتزاز أي:

وبشكل مشابه يكتب شعاع الانتقالات على النحو التالي:

يمكن كتابة معادلات الحركة للجملة ذات N درجة حرية على النحو التالي:

نضرب العلاقة من اليسار بمنقول نمط الاهتزاز  فينتج:

و باستخدام علاقات التعامد نجد

  الكتلة المعممة الموافقة لنمط الاهتزاز n

  التخميد المعمم الموافقة لنمط الاهتزاز n

  الصلابة المعممة الموافقة لنمط الاهتزاز n

  القوة المطبقة المعممة الموافقة لنمط الاهتزاز n

إن استخدام الاحداثيات الطبيعية قد حول معادلات الحركة من مجموعة من المعادلات التفاضلية المترابطة إلى مجموعة من المعادلات التفاضلية المستقلة غير المترابطة.

في الحالة التي يتعرض فيها المنشأ إلى هزة أرضية  لا بد من استبدال شعاع القوة على الطرف الأيمن من معادلة الحركة  بشعاع القوة الفعالة الناتج عن ضرب مصفوفة الكتل بتسارع الكتلة نتيجة الهزة الأرضية أي:

حيث يحوي الشعاع على معاملات تأثير تمثل التسارعات عند الاحداثيات الانتقالية الناجمة عن واحدة التسارع الأفقية عند قاعدة المنشأ, يتحول هذا الشعاع إلى شعاع مركباته واحدية في المنشآت البسيطة التي تكون درجات الحرية فيها انتقالات افقية.

ومنه في العلاقة

ومنه نجد معادلة الحركة لنمط الاهتزاز n