طريقة أطياف الاستجابة:

يمكن الحصول على القيمة العظمى للاستجابة لنمط الاهتزاز n بشكل مشابه تماما للجمل وحيدة درجة الحرية وعلى اعتبار أن القيمة العظمى لانتقال جملة وحيدة درجة الحرية يعطى بالعلاقة

و بالتعويض في العلاقة

فإن القيمة العظمى للإحداثي المعمم أو الطبيعي الموافق للنمط n

وعليه فإن القيم العظمى للانتقالات الناتجة عن نمط الاهتزاز n تنتج بضرب القيمة العظمى لهذا الاحداثي الطبيعي بشعاع نمط الاهتزاز n أي:

كما أن القيم العظمى للقوى الزلزالية الناتجة عن نمط الاهتزاز n تعطى بالعلاقة:

وبجمع هذه القوى على كامل ارتفاع المنشأ نحصل على القيمة العظمى للقص القاعدي الناتج عن نمط الاهتزاز n كما يلي:

و القيمة العظمى للعزم القالب

حيث h شعاع سطري يحتوي على ارتفاعات الطوابق فوق القاعدة.

إن طريقة أطياف الاستجابة تعتمد على ايجاد القيم العظمى للاستجابة الناتجة عن كل نمط اهتزاز على حدى, كما أن القيم العظمى لنمط اهتزاز ليس بالضرورة أن تتزامن مع القيم العظمى لنمط آخر ولذلك لا بد من إيجاد طريقة لتجميع مساهمات أنماط الاهتزاز للحصول بدقة مقبولة على القيم العظمى للاستجابة الكلية للمنشأ.

إحدى هذه الطرق هي تجميع القيم المطلقة للقيم العظمى sum of the absolute value SAV الناتجة عن كل نمط اهتزاز.

وهذا ما يعبر عنه بالعلاقة التالية:

و باعتبار أن طريقة التجميع هذه تفترض تزامن حدوث القيم العظمى لكل أنماط الاهتزاز وبنفس الإشارة فإن النتيجة ستكون حد أعلى للقيم العظمى لاستجابة المنشأ الكلية.

و لهذا يمكن اعتماد طريقة اخرى مبنية على نظرية الاحتمالات كطريقة الجذر التربيعي لمجموع مربعات القيم

Square root of sum of the squares SRSS

وقد بينت النتائج أن هذه الطريقة تعطي تقريبا جيدا لاستجابة الجملة الانشائية.

الحل باستخدام طيف الاستجابة:

بعد حساب شعاع التردد و أشعة أنماط الاهتزاز

ولدينا مصفوفة الكتلة

و بالتالي:

 الكتلة المعممة الموافقة لنمط الاهتزاز n

الانتقال displacement

التسارع acceleration

القيم العظمى للقوى الزلزالية الناتجة عن نمط الاهتزاز

قوة القص القاعدية وفق كل دور اهتزاز هي مجموع القوى الزلزالية في جميع درجات الحرية وفق دور الاهتزاز المحدد).

قوة القص الطابقية:

يتم تجميع قوة القص في كل طابق بالنسبة لكل دور اهتزاز (مجموع القوى الزلزالية في درجات الحرية الواقعة في كل طابق)

و تكون قوة القص الطابقية هي مجموع المجموع من الطابق المحسوب و الذي تحته (هنا اذا كان كل طابق له درجة حرية واحدة) تصبح العلاقة هكذا

معامل مساهمة الأنماط modal participation factor

طريقة السجل الزمني:

بشكل مشابه لما تم اتباعه بشأن الجملة وحيدة درجة الحرية فإنه يمكن الحصول على الاستجابة الموافقة لنمط الاهتزاز n باستخدام تكامل ديوهامل كما يلي:

سعة نمط الاهتزاز modal amplitude

حيث يمثل التكامل التالي:

  الكتلة المعممة الموافقة لنمط الاهتزاز n

ويتم الحصول على الانتقالات الكاملة للمنشأ بتجميع مساهمات أنماط الاهتزاز

و يحدد التسارع المعمم لنمط الاهتزاز n عن طريق جداء مربع التواتر الزاوي بسعة الانتقال الاحداثي المعمم أي:

تسمى

بمعامل مساهمة الأنماط modal participation factor

وعليه يمكن إيجاد تسارعات الكتل الناتجة عن النمط n  وفق العلاقة التالية:

وتحدد القوى الزلزالية الناتجة عن النمط n بضرب مصفوفة الكتل بشعاع التسارع أي:

أما القوة الزلزالية الكلية فتنتج من إضافة مساهمات كل أنماط الاهتزاز و تحسب وفق العلاقة التالية:

حيث   مصفوفة قطرية تحوي على مربع التواترات الزاوية على قطرها الرئيسي.

 أما القص القاعدي فيتم الحصول عليه بجمع القوى الزلزالية على كامل ارتفاع المنشأ وعليه يمكن كتابة القص القاعدي الناتج عن نمط الاهتزاز n على النحو التالي:

الكتلة الفعالة المقابلة للنمط n  أو نسبة مساهمة الكتلة النمطية modal participation factor Mass ratio

   شعاع الواحدة .

  الوزن الفعال المقابل للنمط n و يعطى بالعلاقة التالية:

يمكن توزيع القص القاعدي بالعلاقة

إن مجموع الكتل الفعالة المقابلة لكل أنماط الاهتزاز يساوي مجموع كتل المنشأ.

وهذه النتيجة ضرورية لتحديد عدد انماط الاهتزاز الواجب اعتمادها في التحليل للحصول على دقة مقبولة في حساب استجابة المنشأ.

فإذا كان مجموع الكتل الفعالة المقابلة لعدد محدود من أنماط الاهتزاز أكبر من نسبة محددة من مجموع كتلة المنشأ فإن التحليل يعتبر مقبولا.

استجابة الجملة المرنة متعددة درجات الحرية للهزات الأرضية:

في أغلب الجمل الانشائية من المستحيل نمذجة الاستجابة الديناميكية للجملة بدقة بدلالة احداثي انتقالي واحد, لأن وصف استجابة الجملة في أي لحظة من الزمن يتطلب مجموعة من الاحداثيات الانتقالية المستقلة

Independent displacement coordinates

من أجل تبسيط الحل يمكن نمذجة كتل المنشأبتجميعها في مركز كتلة الطوابقالمختلفة مما يؤدي إلى مصفوفة كتل قطرية سواء كانت كتلا انتقالية أو دورانية على القطر الرئيسي للمصفوفة.

وعليه يمكن كتابة قوى العطالة التي تؤثر على المنشأ كما يلي:

و بغية تحديد مصفوفة صلابة المنشأ فإن أبسط نمذجة للمنشأ تعتمد الفرضيات التالية:

- الطابق يتصرف كلوح في مستويه.

- الجوائز صلبة مقارنة بالأعمدة.

- الأعمدة مرنة في المستوي الافقي و لكن صلبة في المستوي الشاقولي.

بناء على هذه الفرضيات الثلاثة يمكن نمذجة المنشأ باستخدام ثلاث درجات حرية ديناميكية لكل طابق منها انتقالان افقيان متعامدان و دوران حول محور شاقولي يمر بمركز الكتلة. و تخفض درجات الحرية إلى انتقال أفقي واحد في كل طابق في حال تم نمذجة الجملة بإطار مستو و عندها تكتب قوى الارجاع المرنة في المنشأ على النحو التالي:

حيث  الصلابة الانتقالية للطابق  

وعند غض النظر عن الفرضيات أعلاه  يتحول الحد  إلى مصفوفة جزئية و كذلك يتحول الانتقال  إلى شعاع يحوي مركبات الانتقال المختلفة في الطابق .

تكتب معادلة الاهتزاز الحر لجملة متعددة درجات الحرية بدون تخميد باستخدام العلاقة على الشكل المصفوفي التالي :

تحدد تواترات و انماط اهتزاز الجملة بحل مسألة القيم الذاتية eigenvalue التالية:

و لإيجاد الحل غير الصفري لمجموعة المعادلات المتجانسة هذه لابد من مساواة معين مصفوفة الأمثال بالصفر
أي:

بنشر هذا المعين ينتج كثير حدود من الدرجة N   و جذوره هي التواترات المقابلة ل N نمط اهتزاز للجملة و يدعى النمط ذو التواتر الأصغر بالنمط الأساسيFundamental Mode .

بتبديل التواترات الناتجة واحدة تلو الأخرى في مسألة القيم الذاتية ومن ثم حلها لإيجاد السعات النسبية لكل مركبة من مركبات الانتقال بدلالة واحدة منها نكون بذلك قد حددنا الأشعة الذاتية و التي تدعى بأنماط الاهتزاز.

بما أن للجملة N درجة حرية و N نمط اهتزاز مستقل فمن السهل أن نعبر عن الشكل المتشوه للمنشأ بدلالة سعات أنماط الاهتزاز و التي تسمى الاحداثيات المعممة أو الطبيعية و عليه يمكن الحصول على الانتقال  في نقطة ما بجمع مساهمات كل أنماط الاهتزاز أي:

وبشكل مشابه يكتب شعاع الانتقالات على النحو التالي:

يمكن كتابة معادلات الحركة للجملة ذات N درجة حرية على النحو التالي:

نضرب العلاقة من اليسار بمنقول نمط الاهتزاز  فينتج:

و باستخدام علاقات التعامد نجد

  الكتلة المعممة الموافقة لنمط الاهتزاز n

  التخميد المعمم الموافقة لنمط الاهتزاز n

  الصلابة المعممة الموافقة لنمط الاهتزاز n

  القوة المطبقة المعممة الموافقة لنمط الاهتزاز n

إن استخدام الاحداثيات الطبيعية قد حول معادلات الحركة من مجموعة من المعادلات التفاضلية المترابطة إلى مجموعة من المعادلات التفاضلية المستقلة غير المترابطة.

في الحالة التي يتعرض فيها المنشأ إلى هزة أرضية  لا بد من استبدال شعاع القوة على الطرف الأيمن من معادلة الحركة  بشعاع القوة الفعالة الناتج عن ضرب مصفوفة الكتل بتسارع الكتلة نتيجة الهزة الأرضية أي:

حيث يحوي الشعاع على معاملات تأثير تمثل التسارعات عند الاحداثيات الانتقالية الناجمة عن واحدة التسارع الأفقية عند قاعدة المنشأ, يتحول هذا الشعاع إلى شعاع مركباته واحدية في المنشآت البسيطة التي تكون درجات الحرية فيها انتقالات افقية.

ومنه في العلاقة

ومنه نجد معادلة الحركة لنمط الاهتزاز n

طريقة أطياف الاستجابة:

يتضح مما سبق أن حساب الانتقالات و القوى في كل لحظة من سجل الهزة يتطلب جهودا كبيرة حتى لأبسط الجمل الانشائية و لهذا من أجل أغلب المسائل العملية و خاصة فيما يتعلق بالتصميم الانشائي فإن القيم العظمى لعناصر الاستجابة مطلوبة فقط.

فالقيمة العظمى للانتقال المحدد بالعلاقة

يسمى الانتقال الطيفي spectral displacement

ومنه يكون القص القاعدي الأعظمي و العزم القالب

ومنه يمكن حساب القيمة العظمى لسرعة الاستجابة (السرعة الطيفية الكاذبة) spectral pseudo velocity

ومنه يمكن حساب التسارع الأعظمي spectral pseudo acceleration

و يسمى المخطط البياني لأي من عناصر الاستجابة الطيفي بدلالة التواتر أو الدور بطيف الاستجابة response spectrum لذلك العنصر

يتم اعتماد فكرة طيف الاستجابة الصقيل smoothed response spectral  الذي يبنى احصائيا من مجموعة من أطياف الاستجابة العائدة لمجموعة من الهزات الأرضية إما باستخدام القيم الوسطية للمنشآت أو باستخدام فكرة مغلف أطياف الاستجابة للمنشآت الهامة.

طريقة السجل الزمني:

يمكن الحصول على الاستجابة لحمل الهزة الأرضية مباشرة باستبدال الحمل  في المعادلة

بالحمل الفعال للهزة  فينتج:

حيث يمثل معامل الاستجابة السرعة     و يعطى بالعلاقة:

يمكن الان الحصول على انتقال المنشأ في أي لحظة خلال سجل الهزة الارضية و ذلك باستخدام العلاقة.

ومن المفيد التعبير عن القوى التي تتولد في المنشأ خلال الهزة الأرضية بدلالة قوى العطالة.

إن قوة العطالة هي جداء الكتلة بالتسارع الكلي و باستخدام معادلة التوازن الديناميكي مع اعتبار القوة الخارجية معدومة ينتج:

بإهمال حد التخميد في المعادلة السابقة نظرا لمساهمته الطفيفة في عملية التوازن ينتج:

وعليه فإن القص القاعدي لمنشأ مؤلف من طابق واحد (يساوي و يعاكس بالجهة قوة العطالة) في أي لحظة من الزمن خلال سجل الهزة الأرضية يعطى بالعلاقة التالية:

ويحدد العزم القالب المطبق على قاعدة المنشأ بطرب قوة العطالة بارتفاع المنشأ

طريقة تكامل ديوهامل Duhamel integral method

يمكن اشتقاق هذه الطريقة لإيجاد استجابة جملة وحيدة درجة الحرية انطلاقا من استجابة جملة مماثلة لنبضة قصيرة الأمد وبالاعتماد على مبدأ جمع الآثار.

يبين الشكل جملة وحيدة درجة الحرية تبدأ حركتها من وضع الراحة تحت تأثير حمل ديناميكي .

تحدد استجابة الجملة غير المخمدة   لدفع تفاضلي قدره

تحدد استجابة الجملة في اللحظة  بجمع الاستجابات التفاضلية  الناتجة عن الدفوع التفاضلية التي تسبق اللحظة  كما يلي:

أو

حيث يسمى   بتابع الاستجابة من أجل واحدة الدفع و يعطى بالعلاقة التالية:

تحدد استجابة الجملة المخمدة   لدفع تفاضلي قدره

أو

حيث يسمى   بتابع الاستجابة من أجل واحدة الدفع و يعطى بالعلاقة التالية:

العلاقتان هما تكامل ديوهامل و تستخدمان لتحديد استجابة الجملة عندما تبدأ من وضع الراحة.

ومنه يمكن يمكن توسيع الطريقة المذكورة أعلاه لتشمل إيجاد استجابة جملة لتأثير حمل ديناميكي عام لأن أي حمل ديناميكي يمكن تمثيله بمجموعة من الأحمال النبضية المتتالية كما هو مبين بالشكل

 

لنعتبر واحدا من هذه الأحمال النبضية الذي يبدأ عند الزمن  و يستمر فترة زمنية مقدارها  فيكون الدفع الذي تتعرض له الجملة نتيجة هذا الحمل النبضي  و سينتج استجابة تفاضلية قدرها:

نحصل على الاستجابة الكاملة للجملة بإضافة الاستجابات التفاضلية الناجمة عن الاحمال النبضية المتعاقبة و عليه تصبح الاستجابة الكاملة كما في المعادلة:

أما اذا كانت الجملة ذات تخميد فتكون معادلة الاستجابة كما يلي:

Next Page