الاستجابة الناتجة عن نبضة قصيرة الأمد:

Response to short duration impulse

ليكن لدينا جملة وحيدة درجة الحرية غير مخمدة و معرضة لنبضة قصيرة الأمد كما في الشكل

حيث
إذا بدأت الجملة بالحركة من وضعية الراحة فإن المعادلة التفاضلية للحركة و الشروط الابتدائية تكتب كما يلي:

 

             

بمكاملة المعادلة و باستخدام الشرطين الابتدائيين ينتج:

  يسمى بالدفع

 

  هو متوسط الانتقال في المجال الزمني
إن قيمة صغيرة يمكن اهمالها عندما و عندها يمكن أن تكتب المعادلة كما يلي:

و بالتالي فإن نبضة مؤلفة من قوة كبيرة تعمل خلال فترة قصيرة جدا تكافئ إعطاء الجملة سرعة ابتدائية قدرها:

يمكن استخدام هذه السرعة كشرط ابتدائي لمرحلة الاهتزاز الحر التي تلي النبضة و الممثلة بالعلاقة التالية:

وباعتبار  عندما  ينتج

وفي حال كانت الجملة مخمدة بشكل لزج, تصبح العلاقة

عندما  فإن التابع  يسمى تابع الاستجابة من أجل واحدة الدفع.

لايجاد استجابة جملة وحيدة درجة الحرية لحمل نبضي قصير الأمد كالمبين في الشكل

 يمكن اعتبار تأثير الحمل النبضي كتغير في سرعة الجملة وذلك من خلال تطبيق مبدأ كمية الحركة الذي ينص على ان الدفع يساوي تغير كمية الحركة و عليه يمكن كتابة المعادلة التالية

بعد انتهاء فترة تطبيق الحمل ستقوم الجملة بمرحلة اهتزاز حر شروطها الابتدائية:

نحصل على معادلة الاهتزاز الحر للجمل غير المخمدة بتعويض هذين الشرطين الابتدائيين في المعادلة

و اذا عوضنا الشرطين الابتدائيئن في المعادلة

نحصل على معادلة الاهتزاز الحر للجمل المخمدة:

التحليل الديناميكي للمنشآت تحت تأثير أحمال الهزات الأرضية

مقدمة:

يعود السبب الرئيسي للأضرار التي تتعرض لها المنشآت أثناء الهزات الارضية إلى استجابتها لحركة الأرض تحت أساساتها. و لتقييم تصرف المنشآت تحت تأثير هذا النوع من الأحمال لا بد من تطبيق مبادئ ديناميك المنشآت لتحديد الانتقالات و الاجهادات التي يتعرض لها المنشأ. و باعتبار أن الأحمال الديناميكية تابع للزمن فإن تصرف المنشأ سيكون تابع للزمن مما يؤدي إلى مجموعة غير منتهية من الحلول خلال المجال الهندسي المدروس, ومن وجهة نظر هندسية فإن القيم العظمى لاستجابة المنشأ هي ذات الأهمية العملية لحالة التصميم.

استجابة الجمل المرنة وحيدة درجة الحرية للهزات الأرضية

يمثل المنشأ ذو الطابق الواحد المبين في الشكل أبسط المنشآت التي يمكن تحليلها ديناميكيا باستخدام درجة حرية واحدة ممثلة بالانتقال الجانبي عند السطح و يمكن نمذجة المنشأ كما في الشكل بافتراض أن كتلة المنشأ مركزة عند مستوى السطح الذي يعتبر صلبا و أن التشوهات المحورية في الأعمدة مهملة.

بأخذ معادلة توازن القوى المطبقة على الجسم الطليق المبين في الشكل تنتج معادلة التوازن الديناميكي التالية:

  تمثل قوة العطالة

  تمثل قوة التخميد

  تمثل قوة الارجاع المرن

  تمثل القوة المطبقة

    التسارع الكلي للكتلة

     انتقال الكتلة و سرعتها بالنسبة للقاعدة

   الصلابة

 الكتلة

 معامل التخميد

منه

يمكن كتابة التسارع الكلي للكتلة بدلالة تسارع القاعدة كما يلي:

  تسارع الكتلة بالنسبة للقاعدة و يمثل   تسارع القاعدة.

عندما يتعرض المنشأ لهزة أرضية فقط فإن وتصبح المعادلة كما يلي

قوة فعالة تابعة للزمن.

باعتبار أن القوة تابع للزمن فستكون الاستجابة تابع للزمن أيضا و بالتالي يجب أن تتحقق هذه المعادلة في أي لحظة من زمن الاستجابة.

الحركة الاهتزازية غير المتخامدة القسرية:

حيث
 الكتل الكلية عند كل طابق

 الصلابة الكلية لأعمدة كل طابق

الانتقالات الأفقية عند منسوب كل طابق

من خلال دراسة توازن كل كتلة نجد

بعد الاصلاح

و بشكل مصفوفي

أو

   مصفوفة الكتل وهي قطرية مربعة أبعادها n x n

    شعاع التسارع و أبعاده x n 1

   مصفوفة الصلابة وهي مربعة متناظرة أبعادها n x n

    شعاع التسارع و أبعاده x n 1

يمكن التعبير عن الانتقالات بتابع مضروب بمصفوفة الأشعة الواحدية أي

بعد الاشتقاق مرتين نجد

بالتعويض في المعادلة

نضرب ب

من أجل منشأ بدرجتين حرية

حيث:

ومنه

الحركات الاهتزازية متعددة  درجات الحرية

الحركة الاهتزازية غير المتخامدة و الحرة

لنأخذ منشأ مؤلف من عدد من الطوابق )ثلاث طوابق مثلا ( ولندرس الحركة الاهتزازية الحرة ضمن الفرضيات التالية :

1- العناصر الأفقية لهذا المنشأ لا تخضع لأي دوران أي أنها ذات صلابة كبيرة مقارنة بصلابة الأعمدة

2- الكتلة الكلية للمنشأ مشكلة من الكتل المركزة عند كل طابق

3- الانتقال الأفقي للمنشأ مستقل عن القوى المحورية المتولدة في الأعمدة.

يمكن تمثيل المنشأ بمجموعة نوابض وفق الشكل

حيث
 الكتل الكلية عند كل طابق

 الصلابة الكلية لأعمدة كل طابق

الانتقالات الأفقية عند منسوب كل طابق

من خلال دراسة توازن كل كتلة نجد

بعد الاصلاح

و بشكل مصفوفي

أو

 
 مصفوفة الكتل وهي قطرية مربعة أبعادها n x n

 
  شعاع التسارع و أبعاده x n 1

 
 مصفوفة الصلابة وهي مربعة متناظرة أبعادها n x n

 
  شعاع التسارع و أبعاده x n 1

      (1)

معادلة مصفوفية تفاضلية متجانسة حلها من الشكل

و بالاشتقاق مرتين بالنسبة ل

ومنه و بالتعويض في المعادلة (1)

  لا يمكن أن تساوي الصفر (عبارة عن مصفوفة فيها تجميع أشعة بحيث كل عمود هو الانتقالات الموافقة للقيم الخاصة المحسوبة من حل المعادلة التفاضلية أي كل قيمة خاصة لها شعاع انتقالات خاص مخزن هنا)

و بالتالي

من أجل منشأ بدرجتي حرية

أي

أو

ومنه

حيث    تسمى القيم الخاصة و التي منها نجد أدوار الاهتزاز

 

ومنه يمكن كتابة المعادلة

بالشكل التالي

والمعادلة

 

من أجل

من أجل

نسمي

 و  المناحي (الأشعة)الخاصة الموافقة لنمط الاهتزاز الأول و نمط الإهتزاز الثاني.

يعني, في حال انتقلت الكتلة  بمقدار 1 فإن الكتلة  تنتقل بمقدار  في نمط الاهتزاز الأول.

في حال انتقلت الكتلة  بمقدار 1 فإن الكتلة  تنتقل بمقدار  في نمط الاهتزاز الثاني.

ومنه تكون معادلات الحركة الاهتزازية النهائية لمنشأ بدرجتين من الحرية

السرعة

المجاهيل:
و بأربع معادلات و بتطبيق الشروط الأولية و حل المعادلات حل مشترك نجد معادلات الحركة الاهتزازية.

خصائص المناحي الخاصة:

من أجل

بتقسيم على  

و بالتالي من أجل النمط

بأخذ منقول الطرفين للمعادلة

نضرب الطرفين ب

من أجل النمط

نضرب الطرفين ب

بطرح المعادلتين

من أجل  

فإن الناتج يسمى مربع طول الشعاع الخاص  

بتقسيم طرفي المعادلة على

نحصل

   الشعاع الواحدي المرافق للنمط

في حال  

تحويل المعادلات المرتبطة خطيا لمعادلات مستقلة:

يمكن التعبير عن الانتقالات بتابع مضروب بمصفوفة الأشعة الواحدية أي

بعد الاشتقاق مرتين نجد

بالتعويض في المعادلة

نضرب ب

من أجل منشأ بدرجتين حرية

حيث:

ومنه

حل المعادلات بشكل مستقل:

ومن المعادلة

ولدينا

نضرب ب  نجد

ومنه

 

الحركة الاهتزازية القسرية المتخامدة

القوى الخارجية دورية

تردد القوى الخارجية  

السعة أو مطال القوة الخارجية

حالة التخامد دون الحرج

يكون حل المعادلة التفاضلية بدون طرف ثاني هو

الحل الخاص:

 

المعادلة مؤلفة من حدين

الأول يمثل الاستجابة العابرة و التي تتخامد بعد فترة

الثاني يمثل الاستجابة الثابتة و الناتجة عن القوى الخارجية لذلك يتم التركيز على الحد الثاني

 

 

 

تسمى النسبة بين مطال الحركة   و الانتقال الستاتيكي بسبب القوة الخارجية بمعامل التضخيم الديناميكي

الانتقال الستاتيكي

حدوث الطنين:

- الاستجابة الثابتة للمنشأ المتخامد تصبح مساوية للواحد عندما نسبة التردد للقوى الخارجية والمنشأ تقترب إلى الواحد وهذه واضحة عندما يكون التخامد مساوي للصفر

- من أجل قيمة منخفضة للتخادمد فإن السعة الأعظمية الناتجة عن الاستجابة الثابتة تكون عندما تكون نسبة التردد أقل من الواحد

- عندما تتساوى قيمة التردد للحمولة الخارجية و التردد للمنشأ يحدث الطنين.

-عامل التضخيم الديناميكي عند حدوث الطنين

-لإيجاد القيمة الأعظمية لعامل التضخيم الديناميكي نشتق المعادلة التي تعطي التضخيم بالنسبة ل  و بالتعويض نجد

القيمة الأعظمية  تكون

تكون قيمة  الأعظمية

الحركة الاهتزازية الحرة المتخامدة

قوى التخامد :

- احتكاك مع المحيط

- احتكاك داخلي:

التخامد اللزج: يعبر عن التخامد اللزج رياضيا بثابت مضروب بالسرعة أي:

 

حيث  ثابت التخامد (معامل التخامد) و يقدر ب N.sec/m

حل المعادلة التفاضلية من الشكل

بالاشتقاق مرة و مرتين نجد

نعوض في المعادلة التفاضلية

ومنه

أولا: التخامد الحرج

الحركة تعبر عن حركة غير اهتزازية متخامدة تنتهي إلى الصفر

نسبة التخامد من التخامد الحرج

ثانيا: التخامد فوق الحرج

يوجد جذران حقيقيان

المعادلة تعبر عن حركة غير اهتزازية تتخامد بعد فترة من الزمن.

ثالثا: التخامد دون الحرج

يوجد جذران عقديان

تردد التخامد

المعادلة تعبر عن حركة اهتزازية تتخامد بعد فترة من الزمن. حيث أن سعة الحركة  تتناقص مع الزمن

بفرض الشروط البدائية للحركة:

 

حساب التناقص في السعة:

لنحسب التناقص في السعة عند

حيث

نلاحظ أن التناقص ثابت بين دورتين متتاليتين

 

 لحساب التناقص بين السعة في الدور الأول و بعد N دور

في حال التقريب و اعتبار

 

يمكن القبول بأخذ حدين من السلسلة

Previous Page

Next Page